Работают, но далеко не все. Обычно существует некий график дежурств, и одну из существующих в городе поликлиник назначают в определенный день "дежурной", т.е. там обязательно в этот день - неважно суббота или воскресение, есть дежурный врач, причем иногда не один, и время приема может быть увеличено распоряжением руководства этой самой поликлиники.
Конечно ситуации могут возникнуть всякие, но обычно не оставляют город совсем уж без наблюдения и прикрытия врачами.
Другой вопрос в том, что когда припекло, то очень сложно узнать информацию о том, какая именно поликлиника ведет прием в этот конкретный выходной, и даже выяснив эту, почему то секретную для большинства информацию, зачастую сильно больному человеку приходится тащится 2 часа с несколькими пересадками в другой конец города в дежурную в этот день больницу.
Так было однажды у моей подруги: у нее поднялась высокая температура, которая ничем не сбивалась, скорая отказалась ехать, направив к дежурному врачу, и ей пришлось переться из последних сил, боясь в любой момент потерять сознание. Оказалось, что она не зря преодолела этот путь - врач заподозрил пневмонию и назначил серьезные антибиотики. А так, протяни она время - неизвестно чем бы все это дело закончилось.