Question

Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 4√2, а разноть между шестым и четвертым членами равна 4. Найдите сумму шести первых членов.

Answer 1

$(b_n)$ - геометрическая прогрессия
$b_7-b_5=4\sqrt{2} \\b_6-b_4=4 \\ S_6=?$

Решение.
$b_7-b_5=b_1q^6-b_1q^4=b_1q^4(q^2-1)=4\sqrt{2} \\ b_6-b_4=b_1q^5-b_1q^3=b_1q^3(q^2-1)=4 \\ \frac{b_1q^4(q^2-1)}{b_1q^3(q^2-1)}=\frac{4\sqrt{2}}{4} \\ q=\sqrt{2} \\ b_1*(\sqrt{2})^4*((\sqrt{2})^2-1)=4\sqrt{2} \\ 4b_1=4\sqrt{2} \\ b_1=\sqrt{2} \\ S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \\ S_6=\frac{\sqrt{2} * (1-(\sqrt{2})^6)}{1-\sqrt{2}}=\frac{-7\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{-7\sqrt{2}*(1+\sqrt{2})}{-1}=14+7\sqrt{2}$
Ответ: $14+7\sqrt{2}$