На лестницу действуют следующие силы: сила тяжести лестницы <span>mg</span>, сила тяжести человека <span>Mg</span>, сила нормальной реакции <span>N1</span> в точке A и сила реакции <span>N2</span> в точке O. Так как лестница находится в равновесии, то запишем первое условие равновесия (первый закон Ньютона) в проекции на обе оси и второе условие равновесия (правило моментов) относительно точки O.
<span><span>⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪</span><span><span><span>N2</span>⋅sinβ=mg+Mg(1)</span><span><span>N2</span>⋅cosβ=<span>N1</span>(2)</span><span>mg⋅<span>L2</span>⋅cosα+Mg⋅<span>(<span>L—l</span>)</span>⋅cosα—<span>N1</span>⋅L⋅sinα=0(3)</span></span></span>
Поделим равенства (1) и (2) друг на друга:
<span>tgβ=<span><span><span>(<span>m+M</span>)</span>g</span><span>N1</span></span>(4)</span>
Из равенства (3) выразим реакцию <span>N1</span>:
<span><span>N1</span>=<span><span>mgL⋅cosα+2Mg⋅<span>(<span>L—l</span>)</span>⋅cosα</span><span>2L⋅sinα</span></span></span>
<span><span>N1</span>=<span><span><span>(<span>mL+2M<span>(<span>L—l</span>)</span></span>)</span>g</span><span>2L⋅tgα</span></span></span>
Полученное подставим в (4), тогда:
<span>tgβ=<span><span><span>(<span>m+M</span>)</span>g⋅2L⋅tgα</span><span><span>(<span>mL+2M<span>(<span>L—l</span>)</span></span>)</span>g</span></span></span>
<span>tgβ=<span><span><span>(<span>m+M</span>)</span>⋅2L⋅tgα</span><span>mL+2M<span>(<span>L—l</span>)</span></span></span></span>
Окончательная формула примет вид:
<span>β=arctg<span>(<span><span><span>(<span>m+M</span>)</span>⋅2L⋅tgα</span><span>mL+2M<span>(<span>L—l</span>)</span></span></span>)</span></span>
Посчитаем численное значение искомого угла β:
<span>Ответ: 1,22 рад.</span>
<span>β=arctg<span>(<span><span><span>(<span>15+60</span>)</span>⋅2⋅3⋅tg<span>60∘</span></span><span>15⋅3+2⋅60⋅<span>(<span>3—1</span>)</span></span></span>)</span>=<span>70∘</span>=1,22рад</span>