Question

Спасайте,ребят! 1)5(sinx+cosx)+sin2x+1=0 2)sin12x-sin4x=2 3)(x^2-4p/3*x+p^2/3)arccosx=0

Answer 1

$1)\ 5(sinx+cosx)+sin2x+1=0\\ 5(sinx+cosx)+(2sinxcosx+sin^2x+cos^2x)=0\\ 5(sinx+cosx)+(sinx+cosx)^2=0\\ (sinx+cosx)(5+sinx+cosx)=0\\ 1.\ sinx+cosx=0\\ if\ cosx=0\ => \ sinx+0=0\ => sinx=0\\ sin^2x+cos^2x=1\\ 0+0=1\ =>\ cosx\neq 0\\ \frac{sinx}{cosx}+1=0\\ tgx=-1\\ x=\frac{3\pi}{4}+\pi k\\ 2.\ 5+sinx+cosx=0\\ sinx+cosx=-5\\ -1 \leq sinx \leq 1\\ -1 \leq cosx \leq 1\\ -2 \leq sinx+cosx \leq 2\\ -5<-2$
Решений нет.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}+\pi k$; k - целое
$2) sin12x-sin4x=2\\ -1 \leq sin12x \leq 1\\ -1 \leq sin4x \leq 1\ => \ -1 \leq -sin4x \leq 1\\ -2 \leq sin12x-sin4x \leq 2 \\ sin12x-sin4x=2\ <=>\ \left \{ {{sin12x=1} \atop {-sin4x=1}} \right. \\ \left \{ {{12x=\frac{\pi}{2}+2\pi k} \atop {sin4x=-1}} \right. \\ \left \{ {{x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{6} k} \atop {4x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k}} \right. \\ \left \{ {{x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{6} k} \atop {x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{2} k}} \right.$
Так как это система, то точки должны совпадать. Если изобразить эти решения на единичной окружности, становится понятно, что 2-е решение является "подрешением" 1-го, а потому именно 2-е является решением всей системы.
Ответ: $\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{2}k$; k - целое
$3)\ (x^2-\frac{4\pi}{3}x+\frac{\pi^2}{3})*arccosx=0\\ -1 \leq x \leq 1\\ 1. \ x^2-\frac{4\pi}{3}x+\frac{\pi^2}{3}=0\\ D_1=\frac{4\pi^2}{9}-\frac{\pi^2}{3}=\frac{4\pi^2-3\pi^2}{9}=\frac{\pi^2}{9}\\ |x=\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\\ |x=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\\ \\ |x=\pi;\ -1\leq x \leq 1;\ \pi>1.\\ |x=\frac{\pi}{3};\ \pi>3\ =>\ \frac{\pi}{3}>1.\\ 2.\ arccosx=0\\ x=0$
Ответ: 0