Question

Вычислить объем тема,образованного вращением вокруг оси ох фигуры,ограниченной линиями x=4cos^3t, y=4sin^3t

Answer 1

$\left \{ {{x=4cos^3t} \atop {y=4sin^3t}} \right. \; \; \; -\; \; astroida\\\\V=\pi \, \int\limits^{t_1}_{t_2} \, y^2(t)\cdot x'(t)\, dt\\\\y^2(t)\cdot x'(t)\, dt=16sin^6t\cdot 4\cdot 3cos^2t\cdot (-sint)\, dt= \\\\=-192\cdot sin^6t\cdot cos^2t\cdot sint\, dt=-192\cdot (\underbrace {1-cos^2t}_{sin^2t})^3\cdot cos^2t\cdot sint\, dt=\\\\=-192\cdot (1-3cos^2t+3cos^4t-cos^6t)\cdot cos^2t\cdot \underbrace {sint\, dt}_{(-cost)'dt }=\\\\=-192\cdot (cos^2t-3cos^4t+3cos^6t-cos^8t)\cdot d(-cost)=$

$=-192\cdot (cos^2t-3cos^4t+3cos^6t-cos^8t)\cdot (-d(cost))=\\\\=192\cdot (cos^2t-3cos^4t+3cos^6t-cos^8t)\cdot d(cost)\\\\V=2\cdot 192\cdot \pi \, \int\limits^0_{\frac{\pi}{2}} (cos^2t-3cos^4t+3cos^6t-cos^8t)d(cost)=\\\\=384\cdot \pi \cdot \Big ( \frac{cos^3t}{3} -\frac{3cos^5t}{5}+ \frac{3cos^7t}{7}- \frac{cos^9t}{9} \Big )\Big |_{\frac{\pi}{2}}^0=\\\\=384\, \pi \cdot \Big ( \frac{1}{3} -\frac{3}{5} +\frac{3}{7}- \frac{1}{9}\Big )=384\, \pi \cdot \frac{105-63+45-35}{315}=384\, \pi \cdot \frac{52}{315}$

$= \frac{19968}{315} \cdot \pi =63 \frac{123}{315} \cdot \pi$