Question

Sin^6 x + cos^6 x = cos 2x

Answer 1

Sin²x+cos²x=1
Возведём в куб:
sin⁶x+3sin⁴xcos²x+3sin²xcos⁴x+cos⁶x=1,
sin⁶x+cos⁶x=1-3sin⁴xcos²x-3sin²xcos⁴x,
sin⁶x+cos⁶x=1-3sin²xcos²x(sin²x+cos²x),  так как sin²x+cos²x=1, то
sin⁶x+cos⁶x=1-3sin²xcos²x
Уравнение примет вид
1-3sin²xcos²x=cos2x    заменим  cos2x=cos²x-sin²x, sin²x+cos²x=1
получим
sin²x+cos²x-3sin²xcos²x=cos²x-sin²x
2sin²x-3sin²xcos²x=0
sin²x(2-3cos²x)=0
sin²x=0       или        sinx=0      ⇒х=πk, k∈Z
2-3cos²x=0    ⇒  3сos²x=2
$cosx= \sqrt{ \frac{2}{3} } , \\ x=\pm arccos\sqrt{ \frac{2}{3} }+2 \pi n,n\in Z \\ cosx=- \sqrt{ \frac{2}{3} } , \\ x=\pm( \pi - arccos\sqrt{ \frac{2}{3} })+2 \pi m,m\in Z$
Ответ. х=πk, k∈Z
$x=\pm arccos\sqrt{ \frac{2}{3} }+2 \pi n,n\in Z \\ x=\pm( \pi - arccos\sqrt{ \frac{2}{3} })+2 \pi m,m\in Z$