Я долго вспоминал, и, к сожалению, вспомнил только одного человека, в активном лексиконе которого есть это слово. Правда, этот пожилой питерский музыкант-дирижер употреблял его не только применительно к маленькому ребенку, а употреблял "пестовать", когда говорил о заботливом обучении талантливого ученика опытным педагогом.. Когда говорил о взращивании, культивировании, возделывании, заботливом наставлении
Однако чаще пестовать употребляют когда говорят о том, что нянчат ребенка.
А слово пестун, является синонимом слова нянька. + воспитатель и наставник.
К сожалению, слово "пестовать" уже стало устаревшим и архаичным. Молодежь вообще чаще всего не догадается, что означает это понятие. И, что хуже всего, по созвучию воспримет его как бранное.
Весьма вероятно, что слово пестовать практически полностью забыто потому что само понятие заботливого воспитания ушло в прошлое.
Для полноты своего ответа приведу выдержки из словарной статьи.
Скорее всего, слово "пестовать" применимо только для индивидуального процесса вынянчивания, дядькования. Поэтому, вероятно, при СССР, когда все воспитание было поставлено на конвейер пропал процесс пестования. И ушло активной речи само слово. Еще упомянутый мной пожилой музыкант-дирижер говорил "ручная работа", к процессу тщательной творческой вдумчивой деятельности. В противовес "грубому помолу".
Моя прабабушка говорила, что до революции у некоторых детей был пестун. То есть какая-то нянька-воспитатель. Зачастую из старших братьев-сестер. А у барских детей, кажется, из прислуги. Но, к сожалению, я очень смутно помню этот разговор, мне было тогда самому 3-4 года.