Question

Задача на теорию вероятности. Студенту задается 3 вопроса. Вероятность ответа на каждый из них
составляет 0,9. Записать закон распределения случайной величины Х – числа
ответов студента. Составить функцию распределения F(x) и изобразить ее график.
Вычислить М(Х), Д(Х), σх.

Answer 1

Найдем для начала ряд распределения случайной величины X
Вычислим для $k=0,...,3$ вероятности ответов на вопрос согласно формуле Бернулли

$P_3(k=0)=C^0_3p^0(1-p)^{3-0}=(1-p)^3=(1-0.9)^3=0.1^3=0.001;\\P_3(k=1)=C^1_3p^1(1-p)^{3-1}=3p(1-p)^2=3\cdot0.9\cdot(1-0.9)^2=0.027 \\ P_3(k=2)=C^2_3p^2(1-p)^{3-2}=3p^2(1-p)=3\cdot 0.9^2\cdot(1-0.9)=0.243 \\ P_3(k=3)=C^3_3p^3(1-p)^{3-3}=p^3=0.9^3=0.729$


Функция распределения:   $F(X)=\begin{cases} & \text{ } 0,~~~~~~~ x \leq 0\\ & \text{ } 0.001,~~~0\ \textless \ x \leq 1 \\ & \text{ } 0.028,~~~ 1\ \textless \ x \leq 2\\ & \text{ } 0.271,~~~ 2\ \textless \ x \leq 3 \\ & \text{ } 1,~~~~~~~x\ \textgreater \ 3 \end{cases}$


Математическое ожидание:  $M(X)=np=3\cdot 0.9=2.7$
Дисперсия:  $D(X)=np(1-p)=3\cdot0.9\cdot0.1=0.27$
Среднее квадратическое отклонение: $\sigma(X)= \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.27} =0.3 \sqrt{3}$