Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной графиком функции$y=8-0.5 x^{2}$, касательной к нему в точке с абсциссой x= -2 и прямой x=1.

Answer 1

 y  = 8 - 0,5x² , x=1.
---------------
Уравнения касательной функции  y = 8 - 0,5x²  в точке с абсциссой xo= -2.
y -yo = y '(xo)*(x-xo); || yo =y(xo)_значения функции в точке xo = -2||
yo =8 -0,5(-2)² =8 -2 =6 ;
y ' =( 8 -0,5x²) ' = -x ⇒  y'(xo)= y '  | x=xo = -(-2) =2.
y -6 =2(x -(-2))⇔  y =2x +10.
       1                                  1    
S = ∫ (2x+10 -(8 -0,5x²)dx =  ∫ (0,5x²+2x+2)dx =
      -2                                 -2
                       
(x³/6 +x² +2x) | a =-2 , b= 1   =1³/6 +1³+2*1 -( (-2)³/6 +(-2)² +2*(-2) ) =
= 4,5.

Answer 2

Уравнение касательной к кривой в точке х₀ имеет вид:
у-f(x₀)=f`(x₀)·(x-x₀)
x₀=-2
f(x₀)=f(-2)=8-0,5·(-2)²=8-2=6
f`(x)=(8-0,5x²)`=(8)`-0,5·(x²)`=0-0,5·2x=-x
f`(x₀)=f`(-2)=-(-2)=2
Уравнение касательной:
у-6=2(х-(-2))
у-6=2(х+2)
у=2х+10

См. рисунок

$S= \int\limits^1_{-2} {((2x+10)-(8-0,5x^2))} \, dx = \int\limits^1_{-2} {(2x+10-8+0,5x^2)} \, dx = \\ \\ =\int\limits^1_{-2} {(0,5x^2+2x+2)} \, dx =( \frac{x^3}{6}+x^2+2x)|^1_{-2} =$

$=(\frac{1^3}{6}+1^2+2\cdot 1)-( \frac{(-2)^3}{6}+(-2)^2+2\cdot (-2))= \\ \\ =3 \frac{1}{6}-(- \frac{8}{6}+4-4)= 3\frac{1}{6}+\frac{8}{6}=3\frac{9}{6}=3 \frac{3}{2}= 4,5$
кв. ед