Первый раз сталкиваюсь с таким заданием, но оно не особо сложное:
Для решения данного дифференциального уравнения потребуется такая вещь, как интегрирующий множитель μ.
![(1-2xy)\frac{dy}{dx}=y(y-1)|*dx\\(1-2xy)dy=(y(y-1))dx\\(y(y-1))dx+(2xy-1)dy=0\\\frac{\delta P}{\delta y}=2y-1\\\frac{\delta Q}{\delta x}=2y](https://tex.z-dn.net/?f=%281-2xy%29%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Dy%28y-1%29%7C%2Adx%5C%5C%281-2xy%29dy%3D%28y%28y-1%29%29dx%5C%5C%28y%28y-1%29%29dx%2B%282xy-1%29dy%3D0%5C%5C%5Cfrac%7B%5Cdelta+P%7D%7B%5Cdelta+y%7D%3D2y-1%5C%5C%5Cfrac%7B%5Cdelta+Q%7D%7B%5Cdelta+x%7D%3D2y)
Как видим, на полный дифференциал не тянет, вот тут нам и поможет множитель, только его надо сначала найти.Суть множителя в том, что при умножении на него каждой из частей дифференциал будет полным, и соответственно решать его будем как полный.
![\frac{(\frac{\delta Q}{\delta x}-\frac{\delta P}{\delta y})}{P}=\frac{2y-2y+1}{y(y-1)}=\frac{1}{y(y-1)}\\\frac{d\mu}{dy\mu}=\frac{1}{y(y-1)}\\\frac{d\mu}{\mu}=\frac{dy}{y(y-1)}\\ln|\mu|=-ln|y|+ln|y-1|\\ln|\mu|=ln|\frac{y-1}{y}|\\\mu=\frac{y-1}{y}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%28%5Cfrac%7B%5Cdelta+Q%7D%7B%5Cdelta+x%7D-%5Cfrac%7B%5Cdelta+P%7D%7B%5Cdelta+y%7D%29%7D%7BP%7D%3D%5Cfrac%7B2y-2y%2B1%7D%7By%28y-1%29%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7By%28y-1%29%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bd%5Cmu%7D%7Bdy%5Cmu%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7By%28y-1%29%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bd%5Cmu%7D%7B%5Cmu%7D%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7By%28y-1%29%7D%5C%5Cln%7C%5Cmu%7C%3D-ln%7Cy%7C%2Bln%7Cy-1%7C%5C%5Cln%7C%5Cmu%7C%3Dln%7C%5Cfrac%7By-1%7D%7By%7D%7C%5C%5C%5Cmu%3D%5Cfrac%7By-1%7D%7By%7D)
Умножаем на μ каждое из слагаемых и получаем:
![\frac{y-1}{y}(y(y-1))dx+\frac{y-1}{y}(2xy-1)dy=0\\(y-1)^2dx+(2x(y-1)+\frac{1-y}{y})dy=0\\\frac{\delta P'}{\delta y}=2 (y-1)\\\frac{\delta Q'}{\delta x}=2(y-1)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7By-1%7D%7By%7D%28y%28y-1%29%29dx%2B%5Cfrac%7By-1%7D%7By%7D%282xy-1%29dy%3D0%5C%5C%28y-1%29%5E2dx%2B%282x%28y-1%29%2B%5Cfrac%7B1-y%7D%7By%7D%29dy%3D0%5C%5C%5Cfrac%7B%5Cdelta+P%27%7D%7B%5Cdelta+y%7D%3D2%0A%28y-1%29%5C%5C%5Cfrac%7B%5Cdelta+Q%27%7D%7B%5Cdelta+x%7D%3D2%28y-1%29)
Та-дам, вот и дифференциал полный, решаем его.
![\begin{cases}\frac{\delta F}{\delta x}=(y-1)^2\\\frac{\delta F}{\delta y}=(2x(y-1)+\frac{1-y}{y})\end{cases}\\F=\int(y-1)^2dx=x(y-1)^2+\phi(y)\\\frac{\delta F}{\delta y}=x(2(y-1))+\phi'(y)\\x(2(y-1))+\phi'(y)=2x(y-1)+\frac{1-y}{y}\\\phi'(y)=\frac{1-y}{y}\\\phi(y)=\int\frac{1-y}{y}dy=ln|y|-y+C\\F=x(y-1)^2+ln|y|-y+C=0\\x(y-1)^2+ln|y|-y=C](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cfrac%7B%5Cdelta+F%7D%7B%5Cdelta+x%7D%3D%28y-1%29%5E2%5C%5C%5Cfrac%7B%5Cdelta+F%7D%7B%5Cdelta+y%7D%3D%282x%28y-1%29%2B%5Cfrac%7B1-y%7D%7By%7D%29%5Cend%7Bcases%7D%5C%5CF%3D%5Cint%28y-1%29%5E2dx%3Dx%28y-1%29%5E2%2B%5Cphi%28y%29%5C%5C%5Cfrac%7B%5Cdelta+F%7D%7B%5Cdelta+y%7D%3Dx%282%28y-1%29%29%2B%5Cphi%27%28y%29%5C%5Cx%282%28y-1%29%29%2B%5Cphi%27%28y%29%3D2x%28y-1%29%2B%5Cfrac%7B1-y%7D%7By%7D%5C%5C%5Cphi%27%28y%29%3D%5Cfrac%7B1-y%7D%7By%7D%5C%5C%5Cphi%28y%29%3D%5Cint%5Cfrac%7B1-y%7D%7By%7Ddy%3Dln%7Cy%7C-y%2BC%5C%5CF%3Dx%28y-1%29%5E2%2Bln%7Cy%7C-y%2BC%3D0%5C%5Cx%28y-1%29%5E2%2Bln%7Cy%7C-y%3DC)
Проверка:
![(x(y-1)^2+ln|y|-y)'=C'\\(y-1)^2+(2x(y-1))y'+\frac{y'}{y}-y'=0\\(y-1)^2+(2x(y-1)+\frac{1}{y}-1)y'=0\\(y-1)^2+(2x(y-1)+\frac{1-y}{y})y'=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%28y-1%29%5E2%2Bln%7Cy%7C-y%29%27%3DC%27%5C%5C%28y-1%29%5E2%2B%282x%28y-1%29%29y%27%2B%5Cfrac%7By%27%7D%7By%7D-y%27%3D0%5C%5C%28y-1%29%5E2%2B%282x%28y-1%29%2B%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D-1%29y%27%3D0%5C%5C%28y-1%29%5E2%2B%282x%28y-1%29%2B%5Cfrac%7B1-y%7D%7By%7D%29y%27%3D0)
Получен изначальный дифференциал, значится ответ верный, подставляем начальные условия
![0(1-1)^2+ln|1|-1=C\\C=-1\\OTBET:x(y-1)^2+ln|y|-y=-1](https://tex.z-dn.net/?f=0%281-1%29%5E2%2Bln%7C1%7C-1%3DC%5C%5CC%3D-1%5C%5COTBET%3Ax%28y-1%29%5E2%2Bln%7Cy%7C-y%3D-1)
1) 327 + 148 = 475(т) крупы на 2-ом складе
2) 327 + 475 = 802(т) крупы всего на 1-ом и 2-ом складах
3) 802 - 229 =573(т)
Ответ: 573 т крупы на 3-ем складе.
Клубничное-850г.
Вишневое-850*2г ВСЕГО-?г
Из сливы- 850+300
Решение:
850*2+850+850+300= 3700г -всего
Ответ: 3700г=3 кг 700г
Как то так)
Числитель большой дроби представляет собой развернутое выражение (1+b)³,
(1+b)³=1+3b+3b²+b³, следовательно, в левой части имеем (1+b)³/b
в правой части имеем (1/b+1)=(1+b)/b
Разделим первое на второе
[(1+b)³/b]/[(1+b)/b]=[(1+b)³*b]/[(1+b)*b]=(1+b)³/(1+b)=(1+b)²