Question

Найти частное решение дифференциального уравнения

Answer 1

Первый раз сталкиваюсь с таким заданием, но оно не особо сложное:
Для решения данного дифференциального уравнения потребуется такая вещь, как интегрирующий множитель μ.

$(1-2xy)\frac{dy}{dx}=y(y-1)|*dx\\(1-2xy)dy=(y(y-1))dx\\(y(y-1))dx+(2xy-1)dy=0\\\frac{\delta P}{\delta y}=2y-1\\\frac{\delta Q}{\delta x}=2y$

Как видим, на полный дифференциал не тянет, вот тут нам и поможет множитель, только его надо сначала найти.Суть множителя в том, что при умножении на него каждой из частей дифференциал будет полным, и соответственно решать его будем как полный.

$\frac{(\frac{\delta Q}{\delta x}-\frac{\delta P}{\delta y})}{P}=\frac{2y-2y+1}{y(y-1)}=\frac{1}{y(y-1)}\\\frac{d\mu}{dy\mu}=\frac{1}{y(y-1)}\\\frac{d\mu}{\mu}=\frac{dy}{y(y-1)}\\ln|\mu|=-ln|y|+ln|y-1|\\ln|\mu|=ln|\frac{y-1}{y}|\\\mu=\frac{y-1}{y}$

Умножаем на μ каждое из слагаемых и получаем:

$\frac{y-1}{y}(y(y-1))dx+\frac{y-1}{y}(2xy-1)dy=0\\(y-1)^2dx+(2x(y-1)+\frac{1-y}{y})dy=0\\\frac{\delta P'}{\delta y}=2 (y-1)\\\frac{\delta Q'}{\delta x}=2(y-1)$

Та-дам, вот и дифференциал полный, решаем его.

$\begin{cases}\frac{\delta F}{\delta x}=(y-1)^2\\\frac{\delta F}{\delta y}=(2x(y-1)+\frac{1-y}{y})\end{cases}\\F=\int(y-1)^2dx=x(y-1)^2+\phi(y)\\\frac{\delta F}{\delta y}=x(2(y-1))+\phi'(y)\\x(2(y-1))+\phi'(y)=2x(y-1)+\frac{1-y}{y}\\\phi'(y)=\frac{1-y}{y}\\\phi(y)=\int\frac{1-y}{y}dy=ln|y|-y+C\\F=x(y-1)^2+ln|y|-y+C=0\\x(y-1)^2+ln|y|-y=C$

Проверка:

$(x(y-1)^2+ln|y|-y)'=C'\\(y-1)^2+(2x(y-1))y'+\frac{y'}{y}-y'=0\\(y-1)^2+(2x(y-1)+\frac{1}{y}-1)y'=0\\(y-1)^2+(2x(y-1)+\frac{1-y}{y})y'=0$

Получен изначальный дифференциал, значится ответ верный, подставляем начальные условия

$0(1-1)^2+ln|1|-1=C\\C=-1\\OTBET:x(y-1)^2+ln|y|-y=-1$