Численное значение ускорения свободного падения не играет никакой роли. И на Луне и на Марсе время достижения максимальной скорости было бы одинаковым. Отличалась бы только сама эта максимальная скорость. Поскольку, как хорошо известно, частота пружинных колебаний в продольном однородном потенциальном поле происходят с той же частотой, что и в его отсутствии. Каждую четверть периода гармонических колебаний – модуль скорости меняет своё значение от нулевого до амплитудного и наоборот.
БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ФАКТА НЕИЗМЕННОМТИ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ:
![t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} \cdot 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{m}{k} } \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+t+%3D+%5Cfrac%7BT%7D%7B4%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Ccdot+2+%5Cpi+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7Bm%7D%7Bk%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7Bm%7D%7Bk%7D+%7D+%5C+%3B+)
сек ;
ВТОРОЙ СПОСОБ с доказательством неизменности периода:
Будем для начала откладывать координату вниз от начального положения груза. На груз всё время будет действовать сила:
![F = mg - kx = - ( kx - mg ) = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+F+%3D+mg+-+kx+%3D+-+%28+kx+-+mg+%29+%3D+-+k+%28+x+-+%5Cfrac%7Bmg%7D%7Bk%7D+%29+%5C+%3B+)
Теперь станем откладывать координату от точки
и получим смещённую координату:
и теперь уже можем записать уравнение для силы так:
![F = - k ( x - x_o ) = - k x_c \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+F+%3D+-+k+%28+x+-+x_o+%29+%3D+-+k+x_c+%5C+%3B+)
![ma = - k x_c \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+ma+%3D+-+k+x_c+%5C+%3B+)
![mx'' = mx_c'' = - k x_c \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+mx%27%27+%3D+mx_c%27%27+%3D+-+k+x_c+%5C+%3B+)
Последнее – это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой:
и периодом:
нас интересует четверть-период, так что:
сек ;
ТРЕТИЙ СПОСОБ с доказательством неизменности периода:
На груз всё время будет действовать сила:
![F = mg - kx = - ( kx - mg ) = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+F+%3D+mg+-+kx+%3D+-+%28+kx+-+mg+%29+%3D+-+k+%28+x+-+%5Cfrac%7Bmg%7D%7Bk%7D+%29+%5C+%3B+)
![ma = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+ma+%3D+-+k+%28+x+-+%5Cfrac%7Bmg%7D%7Bk%7D+%29+%5C+%3B+)
![mx'' = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+mx%27%27+%3D+-+k+%28+x+-+%5Cfrac%7Bmg%7D%7Bk%7D+%29+%5C+%3B+)
![m( x - \frac{mg}{k} )'' = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+m%28+x+-+%5Cfrac%7Bmg%7D%7Bk%7D+%29%27%27+%3D+-+k+%28+x+-+%5Cfrac%7Bmg%7D%7Bk%7D+%29+%5C+%3B+)
Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой:
и периодом:
нас интересует четверть-период, так что:
сек ;
ЧЕТВЁРТЫЙ СПОСОБ с доказательством неизменности периода:
Будем откладывать координату вниз от начального положения груза. По закону сохранения энергии:
![- mgx + \frac{kx^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = const \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+-+mgx+%2B+%5Cfrac%7Bkx%5E2%7D%7B2%7D+%2B+%5Cfrac%7Bmv%5E2%7D%7B2%7D+%3D+const+%5C+%3B+)
Возьмём производную от обеих частей уравнения:
![- mgx' + kxx' + mvv' = 0 \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+-+mgx%27+%2B+kxx%27+%2B+mvv%27+%3D+0+%5C+%3B+)
![mgv - kxv = mvx'' \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+mgv+-+kxv+%3D+mvx%27%27+%5C+%3B+)
![mg - kx = mx'' \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+mg+-+kx+%3D+mx%27%27+%5C+%3B+)
![- k ( x - \frac{mg}{k} ) = mx'' \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+-+k+%28+x+-+%5Cfrac%7Bmg%7D%7Bk%7D+%29+%3D+mx%27%27+%5C+%3B+)
![( x - \frac{mg}{k} )'' = - \frac{k}{m} ( x - \frac{mg}{k} ) \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+x+-+%5Cfrac%7Bmg%7D%7Bk%7D+%29%27%27+%3D+-+%5Cfrac%7Bk%7D%7Bm%7D+%28+x+-+%5Cfrac%7Bmg%7D%7Bk%7D+%29+%5C+%3B+)
Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой:
и периодом:
нас интересует четверть-период, так что:
сек .