Question

Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых y=3x-1 ;у=2х+5; y=11x+23

Answer 1

1)   Вычислим координаты вершин треугольника ABC.
Точка А пересечения прямых y = 3x - 1,  y = 2x + 5
2x + 5 = 3x - 1
x = 6
y = 2*6 + 5 =  17
A(6;17)
Точка B пересечения прямых y = 3x - 1, y = 11x + 23
11x + 23 = 3x - 1
8x = - 24
x = - 3
y = 3*(-3) - 1 = - 10
B(- 3; - 10)
Точка C пересечения прямых y = 2x + 5,  y = 11x + 23
11x + 23 = 2x + 5
9x = - 18
x = - 2
y = 2*(- 2) + 5 = - 4 + 5 = 1
C(- 2; 1)
2)   Найдём длину стороны АВ  треугольника:
AB = √((-3-6)² + (-10-17)²) = √(81 + 729) = √810 = 9√10
3)  Вычислим высоту треугольника. Если дано уравнение прямой
 ax + by + c = 0 и координаты точки С(х₀;у₀), то расстояние
от точки С до прямой находится по формуле:

h = Iax₀ + by₀ + cI / √(a² + b²)

Уравнение прямой АВ: у = 3х + 1 или 3х - у + 1 = 0

a = 3, b = - 1, c = 1

Координаты точки С(-2;1).

h = I   3*(-2) + (-1)*1 + 1I = I-6I = 6

Найдём площадь треугольника по формуле:

S = ½*AB*h

S = ½*9√10* 6 = 27√10