Числитель обычной несократимой дроби на 2 меньше от знаменателя. Если от числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 5, то дробь уменьшится на 1 /2. Найдите дробь.
Решение
Пусть х - знаменатель, тогда
(х-2)- числитель
- искомая дробь
ОДЗ: х≠0; x≠2
(х+5) - знаменатель новой дроби, тогда
(х-2-2) = (х-4)- числитель новой дроби
- новая дробь
По условию новая дробь меньше первоначальной на 1/2, получаем уравнение:
![\frac{x-2}{x}-\frac{x-4}{x+5}=\frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7Bx-4%7D%7Bx%2B5%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
![\frac{x-2}{x}-\frac{x-4}{x+5}-\frac{1}{2}=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7Bx-4%7D%7Bx%2B5%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3D0)
![\frac{2*(x-2)*(x+5)-2x*(x-4)-1*x*(x+5)}{2x(x+5)}=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%2A%28x-2%29%2A%28x%2B5%29-2x%2A%28x-4%29-1%2Ax%2A%28x%2B5%29%7D%7B2x%28x%2B5%29%7D%3D0)
![\frac{2x^2+6x-20-2x^2+8x-x^2-5x}{2x(x+5)}=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2x%5E2%2B6x-20-2x%5E2%2B8x-x%5E2-5x%7D%7B2x%28x%2B5%29%7D%3D0)
![\frac{-x^2+9x-20}{2x(x+5)}=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B-x%5E2%2B9x-20%7D%7B2x%28x%2B5%29%7D%3D0)
ОДЗ: х≠0; x≠-5
![-x^2+9x-20=0](https://tex.z-dn.net/?f=-x%5E2%2B9x-20%3D0)
![x^2-9x+20=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2-9x%2B20%3D0)
![D=81-4*1*20=81-80=1=1^2](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D81-4%2A1%2A20%3D81-80%3D1%3D1%5E2)
![x_1=\frac{9-1}{2}=\frac{8}{2}=4](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%3D%5Cfrac%7B9-1%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B2%7D%3D4)
![x_2=\frac{9+1}{2}=\frac{10}{2}=5](https://tex.z-dn.net/?f=x_2%3D%5Cfrac%7B9%2B1%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B10%7D%7B2%7D%3D5)
1) При х₁ = 4 получается дробь 2/4, у которой если от числителя вычесть 2, то данная дробь превратится в 0, значит, х₁=4 не удовлетворяет условию.
2) При х₂ = 5 получается дробь 3/5, которая полностью удовлетворяет условию.
Проверка:
![\frac{3}{5}-\frac{3-2}{5+5}=\frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D-%5Cfrac%7B3-2%7D%7B5%2B5%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
![\frac{3}{5}-\frac{1}{10}=\frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
![\frac{3*2-1}{10}=\frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3%2A2-1%7D%7B10%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
![\frac{5}{10}=\frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B5%7D%7B10%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
верное равенство.
Ответ: ![\frac{3}{5}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D)
Доказательство:
Если остатки одинаковые то возможные группы пар:
1)Это когда a,b = {1,4,7} при A не равно B
2) Это когда a,b = {2,5,8} при A не равно B
Пример с первой группы:
a=1, b=4 1/3=0 (остаток 1) 4/3=1 (остаток 1) 1*4-1=3 и это делится на 3 без остатка
a=4, b=7 4/3=1 (остаток 1) 7/3=2 (остаток 1) 4*7-1=27 и это делится на 3 без остатка
a=7, b=1 7/3=1 (остаток 1) 1/3=0 (остаток 1) 7*1-1-6 и это делится на 3 без остатка
и так же с второй группой)
Если число разделить на 0,25, то оно увеличится.
Вспомни правило деления на дробь: чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на число обратное этой дроби, т.е. деление на дробь сводится к умножению на число обратное этой дроби.
В данном случае мы делим на 0,25, значит
0,25 = 25/100 = 1/4
число обратное этой дроби - это 4/1 или 4.
Значит разделить на 0,25 все равно что умножить на 4,
т.о. число при умножении на 0,25 увеличится в 4 раза.
Например: 2 : 0,25 = 2 * 4 = 8
α - угол четвёртой четверти значит tgt < 0 .
![1+tg^{2}t=\frac{1}{Cos^{2}t }\\\\tg^{2}t=\frac{1}{Cos^{2}t }-1=\frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{10}})^{2}}-1=\frac{1}{\frac{1}{10} }-1=10-1=9\\\\tgt=-\sqrt{9}=-3](https://tex.z-dn.net/?f=1%2Btg%5E%7B2%7Dt%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BCos%5E%7B2%7Dt+%7D%5C%5C%5C%5Ctg%5E%7B2%7Dt%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BCos%5E%7B2%7Dt+%7D-1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B10%7D%7D%29%5E%7B2%7D%7D-1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D+%7D-1%3D10-1%3D9%5C%5C%5C%5Ctgt%3D-%5Csqrt%7B9%7D%3D-3)