Question

Сумма корней ( или корень , если он один) уравнения:
$( \sqrt{x + 1} + 1)( \sqrt{2x + 3 } - 2) = x$
равна?

Answer 1

Вцаупкренпкувцук5е67нгрпи

Answer 2

Одз:
x+1>=0
2x+3>=0
x>=-1
x>=-1,5
x принадлежит [-1;+oo)
решаем:
делаем замены:
sqrt(x+1)=y
x+1=y^2
x=y^2-1
sqrt(2x+3)=t
обозначим также: y>=0 и t>=0
получим:
(y+1)(t-2)=y^2-1
yt-2y+t-2=y^2-1
yt-2y+t-1-y^2=0
имеем систему:
sqrt(x+1)=y
sqrt(2x+3)=t
yt-2y+t-1-y^2=0
делаем так, чтобы x в первых двух уравнениях убрался:
x+1=y^2
2x+3=t^2
умножаем 1 уравнение на (-2) и складываем:
-2x-2+2x+3=-2y^2+t^2
1=-2y^2+t^2
исходная система примет вид:
yt-2y+t-1-y^2=0
1=-2y^2+t^2
выразим t
t(y+1)-2y-1-y^2=0
следущий переход возможен если y не равно (-1) (а у нас y - положительный)
t=(y^2+2y+1)/(y+1)=(y+1)^2/(y+1)=y+1
подставим:
1=-2y^2+(y+1)^2
1=-2y^2+y^2+2y+1
1=-y^2+2y+1
y^2-2y=0
y(y-2)=0
y=0; t=0+1=1
y=2; t=2+1=3
обратная замена:
sqrt(x+1)=0
sqrt(2x+3)=1
x+1=0
x=-1
2x+3=1
2x=-2
x=-1
sqrt(x+1)=2
x+1=4
x=3
sqrt(2x+3)=3
2x+3=9
2x=6
x=3
в итоге получили 2 корня
их сумма: 3-1=2
Ответ: 2