В школе учат разным "ненужностям", например, определению частей речи. Потом оказывается, без них в правописании никуда. Что такое слово "по*очерёдно"? Отвечает на вопрос "как?" - наречие, неизменяемая ч. р. Чаще всего в предложениях находится в группе сказуемого при глаголе: ехать тихо, спать долго, отвечать по*очерёдно. Может примыкать к прилагательным. Такие словосочетания часто позже сливаются в одно слово: долго + жданный = долгожданный. Тип синтаксической связи - примыкание, не требующее предлога!
Что есть "предлог" в грамматике? Служебная ч. р., выражающая отношения между существительными, местоимениями, количественными числительными, то есть между словами, отвечающими на вопросы "кто?" и "что?", и другими словами: о вас, после пяти, через реку. Наречие они даже отдалённо не напоминают ни формально, ни содержанием.
Наречию предлог не нужен, стоять может рядом с ним лишь случайно в предложении, разбор которого на словосочетания проясняет ситуацию. "Он шёл по тщательно вымытому полу": шёл по полу, вымытому полу, тщательно вымытому. Предлог "по" имеет отношение к существительному "пол", даже если между ними стоит наречие "тщательно".
Сл. "поочерёдно" существует, "очерёдно" нет. Дело здесь не в том, что мы его в словарях не отыщем, а в том, что оно не имеет смысла. Нар. поочерёдно образовалось из существительного с предлогом: по очереди и является синонимичным ему.
С какой стороны ни посмотри на проблему, писать следует слитно.
