1) Для смартфона. Можно скачать приложения из вашего официального магазина по поисковому запросу "Музыка ВК". Смотрите описание приложения, там написана суть его работы, выбираете наиболее вам подходящее. А вообще и в IOS и Android (в Windows Phone - нет) есть функция кэша музыки в официальном приложении, она включается и отключается в настройках. Во время прослушивания музыки она кэшируется, получается, что у вас появляется такая вкладка - кэш. При отсутствии стабильного интернет соединения ваш смартфон, скорее всего, при открытии вкладки ""Музыка"" сам перейдет в подвкладку "Кеш". Минус в том, что при неожиданном выключении телефона кэш может слететь, вам придется скачивать все сначала.
2) Для компьютера. Здесь все проще. Можно скачать программу VK DJ, с ее помощью скачать все необходимые вам треки, в этом случае слушать можно будет уже из любой программы, в том числе и из этой.
3) Для планшета ситуация примерно такая же, как и для смартфона, программу нужно искать в официальном магазине, так как функция кэша музыки в официальном приложении ВК зачастую не предоставляется.