Question

Как найти площадь треугольника О1 О2 F (серый цвет) (см. условия ниже)?

Условие

Дано:

Точки и O1 и O2 – центры двух касающихся окружностей.

Прямоугольник ABCD касается двух окружностей: большей - в точках B и F, меньшей – в точке A

Площадь прямоугольника равна 15 кв. см.

Answer 1

Для краткости записи обозначим:

R - радиус большой окружности,

r - радиус маленькой окружности.

По условию задачи, площадь прямоугольника ABCD равна 15 см кв.

Выразив длину его сторон через радиусы окружностей, получим:

2*(R+r)*R=15

Аналогично, площадь треугольника О1О2F равна:

(1/2)*(R+r)*R=х, где х площадь искомого треугольника.

При поверхностном взгляде на оба уравнения, мы видим, что их левые части отличаются только коэффициентами перед скобкой. Понятно, что "2" в четыре раза больше, чем "1/2". А значит...

На этом наша преподаватель математики (светлая ей память) прервала бы наши попытки деления в уме 15 на 4.

А значит, составим систему уравнений:

2*(R+r)*R=15

(1/2)*(R+r)*R=х

Большая фигурная скобка слева не получилась: включим воображение, представив систему из двух уравнений.

Решим ее, уравняв коэффициенты в левой части уравнений, умножив второе на "4":

2*(R+r)*R=15

2*(R+r)*R=4х

Поскольку левые части уравнений одинаковы, значит

4х=15, а х=3,75.

Ответ: площадь треугольника О1О2F равна 3,75 см кв.

​​

Answer 2

Пусть R - радиус большой окружности, а х - радиус маленькой окружности.

Тогда площадь прямоугольника можно выразить через эти переменные так: (2R + 2х)*R = 15,

а площадь треугольника S = 1/2 * (х + R) * R

Из площади прямоугольника находим х. Он будет равен (15 - 2R*R) : 2R.

Теперь это значение х подставляем в формулу площади треугольника. Получаем после сокращения, что площадь треугольника S = 1/2 * 7,5 = 3,75.

Интересная задача. Вроде бы при расчете получаются громоздкие формулы с квадратами переменных, однако потом все сокращается, и остаются одни цифры!!

Answer 3

Лично мне проще рассуждать если ввести ещё одну точку, точку X.

Это точка, образованная проведением из точки О1 вниз отрезка, параллельного отрезку O2F.

Для чего мне нужна эта точка?

Дело в том, что тогда получается прямоугольник O1O2FX, площадь которого в 2 раза больше площади искомого треугольника O1O2F.

Найдя площадь прямоугольника O1O2FX и поделив её на 2, получим площадь треугольника O1O2F.

Далее мы видим, что отрезок O2F одновременно является и радиусом большего круга, а также равен стороне прямоугольника.

Сторона AB складывается из диаметров двух этих кругов.

Также видим, что O2F=O2B (потому что они оба радиусы одного круга), а значит O2BFC это квадрат.

S[ABCD]=BC * (2BC + 2AO1) = 15 см².

2BC²+2AO1*BC = 15 см².

AO1 = (15 - 2BC²)/2BC

AO1 = 15/2BC - BC

S[O1O2FX]= BC * (BC + AO1) =

= BC * (BC + 15/2BC - BC) =

= BC² + 15/2 - BC² =

= 15/2 = 7.5

Это мы получили площадь прямоугольника O1O2FX.

А площадь треугольника О1О2F равна половине от площади прямоугольника O1O2FX.

Соответственно чтобы найти его площадь, просто делим площадь прямоугольника O1O2FX пополам:

S[O1O2F] = S[O1O2FX] / 2 = 7.5/2 = 3,75 см².

Ответ: площадь треугольника О1О2F равна 3,75 см².

Answer 4

Площадь прямоугольного треугольника: S=a*b/2. Здесь a и b - стороны прямоугольника. В данном случае получатся следующее. BС=O2F=R2 - радиус большей окружности; R1=O1A - радиус меньшей окружности; сторона AB прямоугольника - это сумма диаметров окружностей. А если сторона треугольника a=O1O2=R1+R2 - сумма радиусов окружностей. То есть чтобы получить большую сторону треугольника OO1=AB/2 - надо знать, что это половина длинной стороны прямоугольника. Меньшая сторона O2F треугольника - b=O2F=BC=R2. Большая сторона прямоугольника, полученная от его площади AB=S1/BC=S1/R2. Тогда большая сторона треугольника: a=O1O2=AB/2=S1/(2*R2­<wbr />). S1=15.

При этом площадь треугольника получается: S=a*b/2=(S1/(2*R2))*­<wbr />R2/2=S1*R2/(4*R2)=S1/­<wbr />4. Итак, площадь треугольника в 4 раза меньше площади прямоугольника: S=S1/2=15/4=3.75 см^2.

Ответ: площадь треугольника: S=3.75 см^2.

Answer 5

Мое решение основано на равенстве прямоугольников.

Проведем два вспомогательных отрезка О1М и РК как на рисунке. Ясно, что прямоугольники АО1МD и О1РКМ равны. Также равны прямоугольники РО2FК и О2ВСF, так как их стороны равны как радиусы двух окружностей. Более того прямоугольники РО2FК и О2ВСF являются квадратами. Далее все просто. Площадь прямоугольника О1О2FM равна половине площади заданного прямоугольника ABCD, то есть 15/2 = 7,5 кв.см. А площадь треугольника О1О2F равна половине площади прямоугольника О1О2FM, то есть 7,5:2 = 3,75 кв см.

Answer 6

S(триугл.) = (1/2)* (R+r)*R?

Где R - радиус окружности с центром в О2;

r - радиус окружности с центром в О1.

Далее

(2*R + 2*r)*R = 15 (формула площади прямоугольника ABCD)

Отсюда, R+r = 7.5/R

Подставляем в формулу площади для триугольника:

S(триуг.) = (1/2)*(7,5/R)*R = 0.5*7.5=3.75.

Answer 7

Не собирался уже давать своё решение, но вижу, что все предложенные решения не оптимальны.

Вот мой вариант. Пусть радиус большей окружности R, меньшей r. Тогда площадь треугольника равна R*(R+r)/2.

Площадь прямоугольника 2*R*(R+r). Площадь треугольника в (2*R*(R+r))/(R*(R+r)­<wbr />/2)=4 раза меньше площади прямоугольника, т.е. 15/4=3,75 см^2.