Латать, латка, это простонародное упрощение слова -заплатка, которое происходит от слова - полотно, то есть кусок материи.
Известно, что латины пришли на Апенины в составе других италийских племен в бронзовом веке из Центральной или восточной Европы, где в то время обитала индоевропейская культура боевых топоров- предки современных германцев, балтов и славян. Отсюда и родство языков например русского и латинского, так как они происходят из одного корня.
Очевидно, что самоназвание -латины ( Latini), близкородственно русскому слову - людины, что означало свободных людей. Аналогично называли себя в древности поляки -Lędzianie, отсюда же и - латыши.
Восходит к слову - лед, что означало изначально открытую местность, пустошь, отсюда же и английское слов - land и латинское Latus, в значении широкий - обширный. Лядами называли древние славяне освобожденную от деревьев землю.