Целую часть квадратного корня можно вычислить простым способом. Для этого вычитаем из исходного числа все нечетные числа до тех пор, пока остаток не будет меньше следующего вычитаемого числа или не станет равен нулю. Число вычитаний будет равно целому числу квадратного корня.
Пример. Есть исходное число 16.
16-1=15
15-3=12
12-5=7
7-7=0
Вычитаний было 4, значит целая часть корня квадратного исходного числа будет равна 4.
С дробными числами несколько сложнее, но тоже можно решать простыми операциями. Например, если составить уравнение
то его можно решить одним из известных алгоритмов, например, методом деления отрезка пополам. Задаем начальное значение, например 100 (которое заведомо больше искомого числа), считаем значение уравнения. Если значение уравнения получилось больше 0, то подставляем значение 100/2=50 (у нас был отрезок [0;100]). Опять считаем значение уравнения. Если теперь получилось меньше нуля, то подставляем значение середины отрезка [50;100] 75, опять считаем значение и т.д. Вычисления заканчиваем, когда будет достигнута необходимая точность результата. В итоге получим корень квадратный числа с заданной точностью.
Умножение и деление можно свести к операциям сложения и вычитания. В нашем алгоритме будут использоваться операции деления и умножения на 2. В вычислительной технике это делается вообще элементарно. Поскольку используется двоичная система счисления, то для умножения числа на 2 надо просто сделать сдвиг числа влево на один разряд (приписать справа нолик), а при делении на 2 - сдвинуть число на один разряд вправо. Операции сдвига - это одни из базовых команд любых, даже самых примитивных, процессоров.