Приставочный глагол закружИть произносится с таким же ударением, как и бесприставочный кружИть.
Во всех личных формах, кроме первого лица числа единственного (произносится только с дарением на третий слог -- кружУ), ударение можно ставить на второй или третий слог: голова крУжится или кружИтся; снежинки крУжатся или кружАтся; ты крУжишься или кружИшься и т.д.
Правда, в некоторых словарях по русскому литературному произношению указывается второй вариант ударения
как возможный, дополнительный. Надо понимать, видимо, что его считают разговорным.
Можно привести много примеров из художественной литературы, где упомянутый глагол употребляется очень часто нашими поэтами и писателями. И оба варианта одинаково часто используются ими.
Так что спокойно говорите это слово так, как Вам хочется, любой вариант вполне приемлем в речи. Никто, думаю, не заподозрит Вас в неграмотности.
Хочется добавить к вышесказанному об ударении в формах этого глагола в прошедшем времени.
Эти формы произносятся с ударением на слог "жи", независимо от рода и числа этого глагола: закружИл ветер, закружИла листва, закружИло голову, закружИли листья осенние.