Буковка О добавляется к предлогу под, оканчивающемуся на согласный, при употреблении его с односложными именами существительными с начальной сонорной согласной. Добавляется для более удобного произношения сочетания.
Существительное "рот" как раз и начинается с сонорной согласной "р". Но этого еще не достаточно для добавления гласной "о" к предлогу -- ведь, например, легко произносятся сочетания "под радугой" и сочетания с другими сонорными ("под мостом", "под липой", "под носом").
Видим, что не во всяких сочетаниях предлога даже перед начальными сонорными нужно добавлять гласную "о".
Вот и правило на этот счёт есть, оно гласит, что добавление указанное происходит только с теми словами, в которых в косвенных падежах, в частности, в творительном, есть полная редукция гласного звука. Лингвистический термин "полная редукция" означает, что гласный звук исчезает, становится беглым.
Например, такая потеря гласного происходит в существительных "лёд (льдом)", "ров (рвом)", "лёд (льдом)" и др.
Поэтому все сочетания указанных слов употребляются с предлогом "подо".
И в существительном "рот" такая редукция происходит.
Поэтому правильно говорить "подо ртом". Например. И во рту, и даже подо ртом появилось раздражение.