Инаугурация проводится в тех государствах, где главой является президент (как правило). Хотя если рассматривать инаугурацию более широко, то получится, что и венчание на царство своего рода инаугурация (посвящение).
Но мы все-таки будем рассматривать процесс инаугурации в узком смысле, только в отношении президентов.
Разумеется, в разных странах мира эта церемония имеет свои особенности.
Однако самыми распространенными являются инаугурация по американскому и инаугурация по французскому типу.
В США церемония всегда проводится в один и тот же день - 20 января (такая особенность свойственна государствам с вице-президентом), в полдень. Президент приводится к присяге председателем Верховного суда. Это главный момент в церемонии. В этот день проводятся парады, балы, приемы, концерты.
Во Франции (и тех странах, которые переняли церемонию инаугурации у Франции) церемония более короткая и менее пышная. Новый президент получает знаки президентского отличия, узнает ядерный код, произносит речь. Потом салют. Все, никакой присяги.
В РФ президент приносит присягу.
Не уверен, но думаю, что во всех странах с президентской формой правления проходит инаугурация. Даже в Иране, даже в Венесуэле.