В слове "трущоба" после шипящего звука "щ" напишем "о" в соответствии с орфографическим правилом: в корне слов пишем букву "о", если не происходит чередования Ё//Е. А в слове "трущоба" трущоб- -- это корень.
Сравните: кошёлка -- кошель;
шёпот-- шептать
дешёвый -- дешевизна,
то есть в этих словах происходит чередование ё//е, значит, под ударением в слове пишем букву "Ё"
"Коллектор" - слово не русское по происхождению. оно происходит из средневековой латыни. Там оно означает "собиратель", его однокоренные слова (в латыни) - "коллектив" (собирательный), "коллекция" (собирание), "коллегия" (от "коллегиум" - собрание"). Слово "лекция", "лектор" к этому слову отношения не имеют - они происходят от слова "лего", что означает "чтение".
Как видим, все эти слова пишутся с двумя "л". Не является исключением и слово "коллектор".
Ещё от бабушки помню это слово и она не раз его произносила. Сначала я не понимала, что-же это значит, но знания приходят со временем взросления и теперь то я знаю, что докучать - это значит надоедать. Ну а раз не докучать - то это не надоедать. Как видим - слово "докучать" вполне обходится и без приставки, а это означает что его нужно писать отдельно от "не" и правильным ответом конечно же будет "не докучали".
На посошок. Ибо это не наречие и не устойчивое выражение
«Орфографический словарь русского языка», под ред. С. И. Ожегова, «Русский орфографический словарь», отв. ред. В. В. Лопатин и А. И. Тихонов «Морфемно-орфографич<wbr />еский словарь».
