Что-то не так либо с проводкой в машине, либо с аккумулятором...
При запуске, пока прокручивается стартер, от аккумулятора отбирается гигантский ток - сотни ампер. Ничего удивительного, что при таком токе падает напряжение не клеммах аккумулятора. И, вполне может быть, оно падает до величины, уже недостаточной для того, чтоб магнитола сохраняла свои настройки - для неё это эквивалентно просто отключению питания.
Проверить просто, если умеете обращаться с тестером: просто посмотрите напряжение на клеммах аккумулятора в момент запуска двигателя (лучше взять стрелочный прибор - это нагляднее, к тому же у него меньше инерционность).
Как исправить: можно попробовать зачистить (мелкой шкуркой) клеммы. Можно попробовать подключить параллельно родному внешний аккумулятор, гарантированно свежий, и посмотреть, как что будет в этом случае (опять же контролируя напряжение тестером). Если зачистка клемм не помогает, а вот подключение свежего помогает, - то однозначно замена аккумулятора. Увы, вечного ничего не бывает, и аккумуляторы со временем тоже сдыхают. Сдыхает не только их ёмкость, но и внутреннее сопротивление.