Все три слова, представленные в вопросе, являются однокоренными.
<hr />
Слово старый отвечает на вопрос "Какой?". Это прилагательное мужского рода, в единственном числе (множественное число - старые), в именительном и винительном (при употреблении в отношении неодушевленных) падежах.
Сделаем разбор по составу слова Старый:
Корнем слова является -стар- (стареть, староватый, устарелый и тд).
Изменяя слово по родам (старАЯ, старОЕ) или же по падежам (старОГО, к старОМУ и тд), выделяем окончание слова -ый-.
Основа слова -стар-.
<hr />
Слово старушка - это существительное женского рода, в единственном числе и именительном падеже.
Разберем по составу слово Старушка:
Корень слова тот же -стар-.
Окончание -а- (старушкА, старушкИ, к старушкЕ, старушкУ, старушкОЙ и о старушкЕ).
-ушк- это суффикс слова.
Основой будет -старушк-.
<hr />
Слово постарели - "Что сделали?"
Это глагол совершенного вида, в прошедшем времени, во множественном числе.
Произведем морфемный разбор слова Постарели:
Корень -стар-.
Окончанием является -и- (постарелИ, постарелА, постарел_).
Выделим суффиксы: суффикс прошедшего времени глагола -л- и словообразующий суффикс -е-.
-по- это приставка.
Основой слова является -постаре-.