Правильно "МОЙ день рождения". В этом словосочетании определяющее слово "день" - мужского рода, а, значит, и притяжательное местоимение должно быть мужского рода - "мой".
Добавление к предлогам, которые состоят из одного согласного звука (также оканчивающихся на согласный), гласного о связано прежде всего с возникающими трудностями при произношении некоторых буквосочетаний. То есть делается это для удобства произношения. Еще наши предки использовали этот способ, так что остались традиции, сформированные в прошлом.
Дополнительный гласный О появляется и у предлога с в том случае, когда он употребляется со словами, начинающимися на сочетания согласных л, ль, м, р с другими согласными, например, "рядом со рвом, клетка со львом, прядь со лба".
Вот и заданное прилагательное многие, начинающееся с сочетания согласных мн, употребляется с предлогом со вместо с.
Приведу предложения-примеры.
Моей маленькой внучке удается справиться со многими заданиями самостоятельно, она даже отказывается заниматься со мной.
Здесь я познакомилась со многими интересными людьми.
Хотя слово "красный" - качественное прилагательное, но с частицей "НЕ" слитно писаться не может. Слово с приставкой не- обозначает понятие, противоположное слову без этой приставки : аккуратный - неаккуратный, веселый - невеселый, высокий - невысокий. А "красный" и "не красный" антонимами не являются. В школе это объясняется так: к слову "не красный" нельзя подобрать синоним или синонимичное выражение без не-, значит, слово пишется раздельно.
Конечно же однажды, как и дважды, трижды и т.д.
Из этих двух слов в современном русском языке нормативным считается только одно -"публицистика".
Лексическое значение уточним по словарю Т. Ефремовой:
Вариант "публицизм" - ошибочный, т.к. образован с нарушением грамматических норм, следовательно, употреблять его в речи не стоит.
