Добавление к предлогам, которые состоят из одного согласного звука (также оканчивающихся на согласный), гласного о связано прежде всего с возникающими трудностями при произношении некоторых буквосочетаний. То есть делается это для удобства произношения. Еще наши предки использовали этот способ, так что остались традиции, сформированные в прошлом.
Дополнительный гласный О появляется и у предлога с в том случае, когда он употребляется со словами, начинающимися на сочетания согласных л, ль, м, р с другими согласными, например, "рядом со рвом, клетка со львом, прядь со лба".
Вот и заданное прилагательное многие, начинающееся с сочетания согласных мн, употребляется с предлогом со вместо с.
Приведу предложения-примеры.
Моей маленькой внучке удается справиться со многими заданиями самостоятельно, она даже отказывается заниматься со мной.
Здесь я познакомилась со многими интересными людьми.