Заваривайте чай в заварнике, наливая, вешайте на носик ситечко, или пользуйтесь ситечком с длинной ручкой, заварка попадет в чашку чистой от чаинок. Я так делаю.
Или чай засыпайте в ситечко, закрывающееся с двух сторон.
Ни одна чаинка, если чай качественный, не попадет в чай. А плохой чай, где много трухи, пыли чайной, вот из такого просочатся.
Понятно, что заварка - это свежий чай в первую порцию, потом он уже не самый свежий.
Но чайная заварка вкуснее и крепче когда постоит. Не неделю, а чай утренний и вечерний из одной заварки разнится по вкусу.
Попробуйте заваривать чай дня на два. Не будет чаинок, чай повкуснеет, мыть ситечко или заварник и ситечко не трудно, если не давать чаю там застаиваться неделю. Чай ведь красит вещи и ткани.