Какому департаменту? Какой запрос? Зачем делать лишние действия?
Совершенно непонятно, что это за секретное письмо, которое нельзя открывать родственникам.
Или у вас судебный спор, при котором имеют значение любые письма?
Это письмо было простое или заказное? Вы расписывались при получении этого письма?
Независимо от этого, если письмо у вас в руках - вы имеете право его открывать и читать. Тем более, что вы видите, от кого он поступило, а также учитывая то, что брат в этой квартире давно не проживает, а вас этот вопрос непосредственно касается.
Это же не письмо личного и интимного характера, а письмо от официального органа.
Кроме этого, ваш брат не сообщил жилищному департаменту место своего фактического жительства для направления туда почтовой корреспонденции, и поэтому - если он не получил письмо по месту регистрации, а получили его вы - то это не ваши проблемы, а проблемы вашего брата. И вы не обязаны бегать за ним, искать его, и докладывать - кто и что прислал по почте на его имя.
Он сам несет эти риски. В конце концов, вы даже можете ему не говорить, что получали какое-то письмо.