По разному или по-разному?
Оба написания слов существуют в разных высказываниях. Чтобы выбрать раздельное или дефисное написание, определю часть речи, к которой принадлежат интересующие нас слова.
По разному пути пошли эти два друга.
По пути какому? разному.
Очевидно, что слово, которое определяет существительное и обозначает его признак, является прилагательным. Слово "по разному" в таком контексте пишется раздельно предлогом "по".
А вот иной контекст:
Они ответили по-разному на поставленный вопрос.
Ответили как? по-разному.
Это слово поясняет глагол и отвечает на обстоятельственный вопрос. Эти признаки помогут выяснить, что слово "по-разному" является наречием. Оно образовано от прилагательного "разный" с помощью приставки по- и суффикса -ому и пишется с дефисом, как и аналогичные наречия, например:
другой - по-другому поступить;
твой - по-твоему сделать;
зимний - по-зимнему одеться.