По старым правилам существовал корень с чередующейся гласной "о", "ы" -
дох / дых / дыш.
Слова считались однокоренные: отдых, отдохнуть, отдохновение, вдохновение, вдохнуть, вдох, передохнУть, дохнУть (не путать со словом - дОхнуть), отдышаться, дышать.
Значение этих слов было такое: перевести дух, вздохнуть и набраться сил, восстановиться, восполнить энергию (после тяжёлой работы, усталости).
Со временем русский язык меняется, изменяются правила, значение слов становится другим.
Слова "отдых", "отдохнуть" - теперь имеют конкретное значение: "Проводить время вне работы".
Например: отдохнул (выспался в выходной, был в отпуске), культурный отдых (экскурсия), заслуженный отдых (пенсия), Дом отдыха и др.
Теперь надо чётко запомнить, что не проверяемые, безударные гласные "о", "ы" чередуются - дох / дых / дыш.
Правильно писать глаголы: отдОхну, отдОхнула, отдОхнуть.
В корне "отдОх" всегда пишется буква "О".
Разбор глагола "отдохнуть" в актуальных правилах русского языка выглядит так:
Для примера, морфемный разбор существительного "отдых":