Правильно - "застежка - молния".
Есть межгосударственный стандарт ГОСТ 28965-91, принятый в прошлом веке в 90х гг. (1991 году). Конечно данный документ древний, но еще действующий в России до настоящего времени. В этом стандарте нет определения данного понятия, но она обозначена техническим термином, как "застежка - молния", при этом дается описание ее свойствам и методы контроля.
Относительно "змейки" ничего сказать не могу, такого понятия застежки мне не известно. Может и употребляется это так, но никогда не слышал.
Бывает, что употребляют вместо застежки - "замок", говорят - "замок - молния". Полагаю, что данное употребление не будет совсем правильным.
Такая привычная для нас деталь одежды и обуви прошла большой путь, прежде чем получила признание широкой публики. Её изобретение относится аж к середине 19 века. Но так как первые молнии быстро ломались, спросом они не пользовались. И даже усовершенствованный вариант не пользовался спросом, а владелец фабрики по их изготовлению американский инженер-изобретатель Уиткомб Лео Джадсон по сути обанкротился.
И лишь в 1918 году популярность новой застёжки начала набирать обороты. Сначала её использовали для денежных кошельков и для закрывания чехлов крупнокалиберных орудий, потом для сумок, и лишь с 1923 года - для обуви. В одежде молния стала применяться с 1923, а как деталь одежды - в 1935. К середине 20 века молния стала не только удобным видом застёжки, но и модным аксессуаром.
Беда поправима. Для начала можно попробовать поджать собачку плоскогубцами, или внизу пришить крючок и петельку, чтобы застегивать и она не съезжала вниз. Ну, а если ничего не помогает, обратитесь в ателье, чтобы вам просто ее заменили.
Название "Молния" - это разговорное.
Первое название было "автоматическая непрерывная застёжка". Следом, уже запатентованая, она имела название "застёжка для обуви".
Следующая модель называлась "Бескрючковая N".
Когда молния начала приобретать популярность её начали называть по звуку "zzzip!" (по-русски «вжик!») - "Зиппер". Поначалу так и у нас называли.
Ну и конечно, за простоту и быстроту расстёгивания в народе появилось называние "Молния" - "молниеносно".
Ну а теперь, наверняка, не всякий продавец поймёт, если вы попросите продать застёжку зиппер.
Хорошо описана история "Молнии" здесь:
http://pro-business.kz/istorija-izobretenija/zastezhka-molnia.html
Мне тут пришлось для детского платья купить длинную молнию, которая подходит для взрослого платья. Так вот я её укоротила. пришила её начиная снизу от того места, где она должна начинаться. А верхние лишние концы отрезала, оставив запас в сантиметр. Эти кончики я подогнула и пришила с изнанки. И уже нету риска того, что бегунок слетит с молнии.