Беда любого хорошего учения в том, что среди его приверженцев рано или поздно появляются такие, которые говорят, что они ближе к тому, что говорил основатель учения, чем все остальные. И всё бы ничего, если б они ещё не враждовали между собой в споре, кто из них лучше знает истину. Такое происходит не только с религиями и философиями. Вспомните тех же марксистов - сначала ленинцы объявили, что правы только они, а все остальные коммунисты и социалисты ошибаются, потом произошло деление на большевиков и меньшевиков, а ещё позже стали и среди большевиков выискивать и уничтожать всех, кто хоть немного отклонялся от линии партии.
Это по еврейскому календарю. В России до 1700 года так и считали. Год начинался 1 сентября. А потом Петр Первый сделал все под Европу. А так, теплый сентябрь или октябрь до сих пор считается бабьим летом.
С точки зрения теологии, возьму на себя смелость заявить, что практически ничем. Кстати, не "новообрядцы", а "никониане", так старообрядцы последователей РПЦ называют. А вот с точки зрения обрядовой, внешней стороны исповедования Веры - несколько отличаются. Главное отличие - у старообрядцев (древлеправославных - так они себя называют) нет священства. Потому что патриарх Никон физически истребил всё священство, приверженное к старому обряду и некому стало рукополагать новых священников, прервалась преемственность. Их одно время так и называли "беспоповщина". Ещё - двуперстное крёстное знамение (двумя пальцами вместо трёх).
В более общем случае - Никон приблизил исповедование Веры ближе к каноническому греческому образцу, это после полутысячи лет собственной истории исповедования Православия на Руси. Понятно, что народ был взбешён - "кто-то, пускай Патриарх, будет указывать, как нам в Бога верить?!" (русское Православие отличалось завидным демократизмом, в отличие от "армейской" дисциплины в католичестве, "непререкаемых авторитетов" в Русской Церкви не было).
Кто такие православные и римо-католики, я уже ответил тут.
Греко-католики, же принимая догматы Католичества и подчиняясь административно Папе Римскому, сохранили у себя восточно-византийские обряды, каноны и литургику - как у православных.
"Католического рождества" в принципе не может быть. Есть Рождество Христово, которое в 4 веке Церковь постановила праздновать 25 декабря - в самый короткий солнечный день, день зимнего солнцестояния.
Католики, протестанты и большая часть православных в мире (болгары, греки, румыны и пр.) так и празднуют ныне.
Русская ПЦ, сербы, грузины, православные поляки и православные арабы Иерусалима также празднуют Рождество Христово 25 декабря по юлианскому календарю, но в связи с отставанием данного стиля от григорианского на 13 дней ныне - Рождество в данных церквях выпадает в 21 веке на 7 января н.ст.
Новый Год по юлианскому календарю, соответственно, выпадает на 14 января н.ст.