Врач дает такие рекомендации исходя не только из теоретических знаний, а из опыта лечения ОРЗ в том числе. Т.е. зная что ОРЗ может давать осложнения в виде бронхитов, пневмонии, гайморитов и прочих бактериальных заболеваний, когда к вирусному заболеванию присоединяется бактериальная инфекция через несколько дней течения болезни, если болезнь не "идет на спад" к лечению добавляют антибиотик.
Конечно при грамотном лечении перед тем как назначить антибиотик желательно сдать анализ крови и убедиться в том, что бактериальная инфекция имеет место быть, только после этого назначать антибиотик. А еще лучше сдать анализ на бакпосев и точно определить вид антибиотика, но на это необходимо время, а болезнь ждать не будет, по этому некоторые решения принимаются на усмотрение врача.
В вашей ситуации врач как бы "жалеет" вас и ребенка (чтоб вы не приходили через пару дней снова в поликлинику: не простаивали в очереди, не выводили больного ребенка на улицу лишний раз) и назначает антибиотик "заранее", оставляя на ваше усмотрение (судя по состоянию ребенка) давать или не давать антибиотик. Опирается при этих решениях врач на свою врачебную практику (скорее всего в большинстве случаев при таком течении заболевания требовалось применение антибиотиков).
Если вы сомневаетесь или вам принципиально, чтоб антибиотики назначались строго врачом (а не на ваше усмотрение), можете через назначенные пару дней снова прийти в поликлинику с ребенком, попросить у врача направление на сдачу анализа крови, на следующий день снова прийти в поликлинику и по результатам анализов попросить у врача прописать лекарство.
Сразу этот анализ нет смысла сдавать, потому что бактериальная инфекция может присоединиться не сразу, а через указанные врачом пару дней.
Кроме того есть антибиотики требующие рецепта, которые врач не сможет выписать без четких на то усмотрений.