Корни у слов вязать и вязкий одинаковые.
Вяз-а-ть корень/суффикс/окончание
вяз-к-ий корень/суффикс/окончание.
Слово "вязать" имеет прямое значение "что-то соединять" с помощью подручных средств: веревки, бечевки, скобок, спиц и вязального крючка и пр.
Вязать веники, вязать снопы, вязать кофточку, берет, носки и варежки.
Прилагательное "вязкий" имеет множество значений:
"тягучий, клейкий, липкий, топкий, терпкий",
например: вязкий кисель, вязкое болото, вязкая дорога, вязкая хурма.
Вот по этим различиям в значении и в сочетаемости с другими словами и определим разницу слов "вязать" и "вязкий".
А вообще мне думается, что слово "вязкий" возникло на основе переносного значения глагола "вязать".
Антоним к слову "вязкий" - твердый,
антонимом к слову "вязать" является глаголы "развязать, отвязать".
Значит, эти слова не однокоренные.