Jull S,
правописание зависит от конкретного контекста:
1) если «по новому» - это прилагательное с предлогом «по», то
отдельно.
Я сегодня ходил на работу по новому пути.
Я вчера спекла пирог по новому рецепту.
Соседка шьет платье по новому лекалу.
Решено строить объект по новому проекту.
По новому стилю рождество отмечается 25 декабря.
2) Если «по-новому» - это наречие, то пишется с дефисом,
аналогично тому, как пишутся слова «по-другому, по-русски, по-английски, по-китайски».
С понедельника начинаю жизнь по-новому.
С повсеместным распространением компов общение обставляется по-новому.
С освоением иностранного языка к родному отношусь по-новому.