Если меняется только домен и при условии что внутри сайта у Вас все ссылки относительные (в ссылках не указывается имя сервера, а только путь к ресурсу, страничке), то вся работа сводится только в прописке на веб-сервере хостера нового имени Вашего веб-сервера и привязки этого имени к Вашим ресурсам. При этом вполне могут себе мирно сосуществовать и старое, и новое имя. Ну и на DNS-сервере, где "живёт" Ваш новый домен, надо для имени Вашего нового сервера просписать IP-адрес старого хоста.
Если-же внутри сайта есть абсолютные ссылки на себя-же, то по правилам хорошнго тона их надо заменить на относительные, как раз это один из таких случаев.
Если-же меняется хост, то тут зависит от сложности Вашего веб-сервера. Если только статичные странички, то достаточно бедет скопировать структуру каталогов с их содержимым Вашего веб-сервера на новый хост и настроить на новом хосте веб-сервер под Ваш домен. Если-же ещё и базы данных присутствуют, то нужно будет сделать бэкап баз на старом хосте, настроить базы на новом, и восстановить содержимое баз из бэкапа.
Если хочется сделать всё быстро и без перерыва в работе, то лучше остаться на старом хосте. Если он, конечно Вас устраивает.