В глаголе беседовать при его произнесении без ударения оказался гласный в первом слоге слова. Возникает сомнение, что писать, букву "е" или "и":
беседовать [б' и с' э д а в а т].
Чтобы правильно написать безударную гласную в корне слова, подберем родственные слова в надежде, что хотя в каком-нибудь из них ударение прояснит звучание безударного гласного.
Беседовать - беседа, беседка, беседочный, собеседник, собеседница.
Как видите, безударный гласный в первом слоге слова, как заколдованный, так и остался безударным.
Следовательно, о написании буквы "е" в первом слоге всех приведенных однокоренных слова справляемся в орфографическом словаре.
В глаголе несовершенного вида "беседовать" пишется суффикс -
ова-, так как в форме первого лица настоящего времени глагол заканчивается на -ую :
беседовать - я беседую
заведовать - я заведую
завидовать - я завидую
Если же в форме первого лица настоящего и простого будущего времени глагол заканчивается на -иваю/-ываю, то в инфинитиве и в форме прошедшего времени в глаголе пишется суффикс -ыва/-ива, например:
осваиваю - осваивать, осваивал;
разведываю - разведывать, разведывал.
А теперь пару слов о происхождении слова "беседа". Вероятно, что это сращение наречия без-, что значило "вне, снаружи" и слова "седа", которое имело значение "место для сидения". В современном языке слова "седа" нет, а корень сохранился в словах "сидеть", "сиделка" и пр.