А это смотря, какой у него ВНЖ.
Если синяя книжечка - то этот документ не является удостоверением личности. Он выдается иностранным гражданам, как подтверждение постоянного проживания на территории России. В этом случае удостоверением личности является национальный паспорт или свидетельство о рождении ребенка.
Ежели книжечка зеленая - то да, можно предъявлять вместо паспорта. Этот ВНЖ выдается лицам без гражданства (ЛБГ), то есть, если других документов у них нет.
Об этом сказано в законе О правовом положении иностранных граждан, статья 10, ФЗ 115
<hr />
Но, лучше уточнить в школе. Неизвестно, для каких целей требуется.
Если надо вносить в какую-то электронную форму - то не прокатит.
В общем, берите иностранный паспорт, СОР и Вид на жительство. Точно что-то пригодится.