Есть русская поговорка "Сие от нас не зависит**. Мы часто её употребляем, когда хотим подчеркнуть, что от нас ничего не изменится в том или ином случае, поэтому, дескать, нужно просто смириться с обстоятельствами.
Но эта поговорка не относится к вопросам по русскому языку.
Как правильно писать заданный глагол? А вот правильное написание этого слова целиком от нас самих зависит, потому что мы всегда можем проверить любое слово либо по словарям орфографическим, либо подчиниться правилам правописания.
В заданном глаголе в сильной позиции (ударным) оказывается второй слог -- завИсеть.
Следовательно, разберемся с приставкой и безударной гласной перед -ть неопределённой формы глагола.
Приставка за- -- единообразная, только так она пишется в любом приставочном слове.
Гласная перед -ть обычно определяется по усекаемой или неусекаемой форме глагола. Однако, хотя рассматриваемый глагол и является глаголом с усекаемой формой (завишу, зависят), он пишется с гласной -е в неопределённой форме.
Этот глагол в числе других подобных немногих глаголов (видеть, ненавидеть и обидеть) -- исключение!
Это необходимо запомнить и писать правильно -- зависеть.
Екатерина Николаевна стремилась справляться со всеми своими недугами самостоятельно,
предпочитая ни от кого не зависеть.