Когда мы пишем сочетание "чёрное море", то разные тексты могут преподнести нам самые неожиданные лексические оттенки. Поэтому без анализа предложения невозможно сразу сказать: да, только с заглавной буквы.
Если мы убедимся, что Чёрное море - это название конкретного географического объекта, то пишите с заглавной (с большой) буквы только первое слово. Кавычки не нужны.
Могут появиться и кавычки, "Чёрное море" - так могут назвать и песню, и книгу, и кафе, и фильм. Я бы сформулировала это так: если название моря используется для наименования чего-то другого, то новое название пишется в кавычках.
Писать "чёрное море" со строчной буквы нам придётся очень редко. Только в таких ситуациях, когда мы захотим сказать, что море изменило свой цвет, потемнело, а вода в нём стала как будто чёрной.
Представить себе случаи, когда с заглавной буквы мы напишем и слово "море", мне сложно. Если только Чёрным Морем назовут какой-нибудь населённый пункт, а может и другой объект - как назвать и как написать, решать самому автору названия и хозяину объекта.
Бывают названия, которые настолько несопоставимы с правилами русского языка, что удивление берёт. Могут назвать и "Чорное море" какой-нибудь ресторанчик для уникальности.