Происхождение некоторых головных уборов (из приведенных в вопросе) очевидно. То есть очевидно, что не русское. Например, панама. Слово совпадает с названием государства на "одноименном перешейке". А в русском языке оно зафиксировано только в начале ХХ века! Возможно, когда богатые люди начали ездить отдыхать на юг и прикрывали голову новым головным убором. Не менее очевидно латиноамериканское происхождение слова сомбреро. По-испански sombrero - шляпа, а sombra - тень (интересно, что на латыни тень - umbra). Сомбреро с широкими полями дает хорошую тень :). Также очевидно английское происхождение слова футболка, как и игры футбол: от англ. foot - нога и ball - мяч; футбол - английская игра. Цилиндр тоже явно не русское слово. В русском языке оно долго (со времен Петра) употреблялось только как название геометрического тела, а как головной убор - только с 70-х гг. XIX века (поэтому, например, Онегин у Пушкина надевает не цилиндр, а боливар:
Слово "шапка" в русском языке известно многие сотни лет, но когда-то обозначало царскую корону ("тяжела ты, шапка Мономаха!" - говорит Борис Годунов). И все же это слово заимствовано из старофранцузского: chape - плащ, chapel - головной убор, в современном французском шляпа - chapeau ("шапо"). Отсюда и шапокляк: от того же "шапо" + claque - шлепок. Действительно, похоже на цилиндр, по которому шлепнули сверху.
Слово "берет" тоже пришло из французского языка. Вероятно, в русском языке его впервые использовал Пушкин в "Евгении Онегине": ("Кто там, в малиновом берете..?"). Остаются только треуголка и ушанка. И вот эти названия головных уборов - русские. И "три", и "ухо", и "угол" - очень древние слова в русском языке, которые не были заимствованы из европейских.
Думаю, что мельница - лишнее.
Все остальное (самолет, аэростат) и все остальные (бабочка, стриж) могут подняться в воздух.
А у мельницы крылья, конечно, есть, но летать она не может.
Так что предлагаю исключить мельницу.
В существительное Банка добавим Ь и получим новое слово - Банька (маленькая баня или уменьшительно-ласкательное от того же существительного).
К глаголу изъявительного наклонения времени настоящего Катится (что делает?) добавляем Ь и получаем глагол в неопределенной форме - что делать? Катиться.
В третьем случае прибавление Ь меняет не только смысл слова, но и часть речи: из существительного мужского рода Плач образуется глагол повелительного наклонения единственного числа- Плачь!
Далее - Полёт (существительное) - польёт (глагол).
Полка(предмет мебели) - полька(танец; национальность).
Вот только с глаголом Сели преобразование никак не получается, только Ъ (твёрдый знак) может в этом преуспеть - сЪели. И ещё как вариант: в Испании есть муниципалитет, город и река, носящие названия Селья. Так вот в родительном падеже это имя собственное будет звучать как Сельи (нет чего?).
Да, есть "лишнее слово", которое выделяется тем, что не имеет в своём составе свойства присущего всем остальным.
Квадрат - происходит, в переводе, от латинского "четырехугольный".
Квадрига - слово составное, тоже из этого языка: "четыре" и "ярмо".
Квартал - с латыни "четвёртый"
Квартет - также производное от предыдущего перевода и имеет отношение к 4.
Тетрадь и тетраэдр - от "тетра" (четыре), это уже из греческого языка.
Четверг - тут наши, славянские корни, перевод не требуется. Также значит 4.
А вот ТЕРРАСА - единственное слово из данных восьми, в этимологии, не имеет никакого отношения к 4, в отличие от 7 остальных слов. С французского и латыни это "терра" - земля или площадка.
Ну в первом и третьем словах из предложенного списка приставки вовсе и нет, а посему с совершенно легким сердцем "подагру" (с корнем подагр-) и "подлеца" (с корнем подл-) из него вычеркиваем. Слово "подоконник" содержит в своем составе приставку под-, а вот оставшиеся слова: "подарок" (приставка по-, корень -дар-, суффикс -ок), "подорожник" (приставка по-, корень -дорож-, суффикс -ник) и "подруга" (приставка по-, корень -друг- и окончание -а) имеют одинаковые приставки по-. И, стало быть, именно они являются правильным ответом на Ваш вопрос.
Выпишу их в рядок для наглядности: подарок, подорожник, подруга.