Слово "лестница", как на мой взгляд, какое-то странное. Сомневаюсь, что оно старославянское, кто бы и что бы про это ни говорил.
Думаю, что старославянским является слово "драбина", которое, кстати, употребляется в украинском языке и обозначает как раз лестницу.
"Лазить" и "лестница" несколько похожи по звучанию, но не более того. Уверен, что они не имеют ничего общего.
Корень же в слове "лестница" я бы выделил так: "лес". Есть слово "лесенка". Оно и будет проверочным. Буква "Т", думаю, тут лишняя изначально, и ее присобачили сюда светила русского языка, которые так просто когда-то захотели.
Конечно, я не доктор и даже не кандидат наук, а просто высказываю свое личное мнение. Как на мой взгляд, то некоторые правила русского языка нужно пересматривать, как, например, сделали в 1917-м и поотменяли разные "яти" и "ети".