Разница между словами "по весеннему" и "по-весеннему" в написании (с дефисом или без него) диктуется тем, каким членом предложения это слово является - прилагательным (пишем без дефиса) или наречием (пишем через дефис).
1). предложения с прилагательным:
-- По весеннему небу протянулись перистые облака - видно, стоит ожидать похолодания.
-- Старики могли ориентироваться по весеннему небу и предсказывать, какая будет погода в ближайшие дни.
-- По весеннему небу где-то очень высоко плыл самолет, крохотной серебряной точкой сверкая в лучах солнца.
**
2). предложения с наречием:
-- Я была одета по-весеннему, потому очень замерзла под порывами ледяного ветра.
-- В воздухе уже пахло по-весеннему, и запах этот был непередаваемо будоражащим.
-- "Вы уже настроены по-весеннему?" - спросил преподаватель студентов, и в голосе его слышался сарказм.