Пахнуть ткань любая может начать очень быстро. И не так важно, из чего она сделана - важнее то, какие микроорганизмы в ней поселятся. Кухонная тряпка насыщена биологическими продуктами, которые привлекают особый вид бактерий. Они как результат своей жизнедеятельности выделяют в том числе и запах. Чтобы прекратить жизнь бактерий и микробов, нужна дезинфекция, отсутствие питательной среды и как минимум частое просушивание и проветривание.
Если у вас рядом балкон или иное подобное место, тряпок имейте несколько и часто их просто меняйте местами. Одну на прищепку на воздух, другую в руки. Если к этому еще и мылом простирнете, будет отлично. Через три, максимум пять дней нужно хорошо простирывать тряпку. Для этого неплохо замочить ее в дезинфицирующем средстве на ночь, утром хорошо промыть-прополоскать, и "за ушко на солнышко" пусть проветрится и высохнет.
Выше упомянули, что менять тряпки нужно раз в три месяца, так я поправлю: по мере надобности. Если запачкали хорошо и не отстирывается, выбрасывайте сразу.
Тряпки покупные выглядят миленько, но я часто использую вещи, вышедшие из моды или надоевшие полотенца, махровые халаты которые уже не носим. Из них шью салфетки для кухни и часто меняю себе и домашним на радость.