Что такое Булева алгебра? Есть примеры (см)?
2 ответа:
Я тоже хочу ответить на этот специфический вопрос, связанный с открытием основателем математической логики Д.Булем алгебры, названной в его честь. Булеву алгебру можно использовать в курсе математической логики как модель изучаемого классического исчисления высказываний. Кто изучал это, тот знает, что в этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, которые содержат булевы операции и переменные, - это и есть высказывательные формы.
<hr />Остановимся на необходимых определениях логики высказываний, которые продемонстрируем на примерах.
Высказывание - это повествовательное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно.
Например,
А: Москва - столица России - высказывание, причем истинное.
В: 2+2=5 - это ложное высказывание.
2+2 - это не высказывание, т.к. относительно его нельзя сказать истинно оно или ложно.
Нас интересуют не все логические операции, а только конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение) и отрицание.
<hr />Конъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, обозначаемое А /\ В, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
Дизъюнкцией двух высказываний называется сложное высказывание, обозначаемое А \/ В, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Отрицанием высказывания А называется высказывание, обозначаемое /А (не А), ложное тогда и только тогда, когда само высказывание истинно.
Составим конъюнкцию, дизъюнкцию высказываний А и В (см. выше) и отрицание высказывания А.
А /\ В: Москва-столица России и 2+2=5 (соответствует союз и) - конъюнкция ложная (см. третью строку таблицы истинности для нее - 1,2,4 столбцы).
А \/ В: Москва - столица России или 2+2=5 (соответствует союз или) - дизъюнкция истинная (см. третью строку таблицы истинности для нее - 1,2,5 столбцы).
/А: Неверно, что Москва - столица России (можно и так: Москва - не столица России ) (соответствует частица не) - отрицание ложное (см. третью строку таблицы истинности для отрицания - 1,2,3 столбцы).
<hr />Ниже приведена сводная таблица истинности, которая составлена для всех пяти операций (имеются еще 2 операции: импликация и эквиваленция, см. шестой и седьмой столбцы), но в определении булевой алгебры они не участвуют).
А теперь дадим точное определение булевой алгебры (см. здесь).
Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями /\ (аналог конъюнкции), \/ (аналог дизъюнкции), унарной операцией /(аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для любых элементов из А a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:
a /\ (b /\ c) = (a /\ b) /\ c a \/ (b \/ c) = (a \/ b) \/ c ассоциативность
a /\ b = b /\ a a \/ b = b \/ a коммутативность
a /\ (a \/ b) = a a \/ (a /\ b) = a законы поглощения
a /\ (b \/ c) = (a /\ b) \/ (a /\ c) a \/ (b /\ c) = (a \/ b) /\ (a \/ c) дистрибутивность одной операции относительно другой
a \/ / a = 1 a /\ /a = 0 дополнительность
Замечание: бинарная операция связывает два элемента, унарная - один элемент.
Несколько слов об авторе, в честь кого названа эта алгебра.
Отмечу, что булева алгебра широко применяется на практике. Для интересующихся предлагаю посмотреть вот этот красочный материал., в котором показано, что
А также рассмотрена алгебра лотки.
Читайте также
Довольно старенькая головоломка на логику. Поговаривают, что с помощью такой картинки проверяли логику у разведчиков, хотя это и не подтверждено. В любом случае, это неплохая разминка для мозга. Вот правильные ответы:
