Если коротко - то почти все со всеми. В самом названии выражено противоречие.
Главный спор, конечно, происходит между Базаровым и Павлом Петровичем Кирсановым. Причина - категорически противоположные взгляды на все. Они говорят об авторитетах, об аристократии, о традициях, русской культуре, науке, труде... Наверное, обо всем, что было актуальным для общества в то время.
Еще один символический спор - между Базаровым и так называемыми "нигилистами" Ситниковым и Кукшиной. Самое интересное, что Базаров в нем не участвует, понимая, что такие "соратники", скорее, дискредитируют его идеи. Своим молчанием от выражает протест против примитивно-вульгарного понимания нигилизма.
Спор с Одинцовой - это, скорее, в подтекстах, в недосказанном.
Скорее всего, главный спор романа - между Базаровым и самим Тургеневым.