Сначала определим часть речи, к которой принадлежит заданное слово в форме числа единственного.
Задаем вопрос. Что сделай? -- поздравь.
Обозначена в данном случае просьба, так что это глагол повелительного наклонения.
Обратим внимание на то, что глагол в этой форме оканчивается на согласную.
И вот тут-то и вспомним правило, в соответствии с которым в глаголах в форме повелительного наклонения после согласных пишется мягкий знак, например: встань, брось, сядь, поджарь, оглянись и подпояшь, перережь.
Да в слове "поздравь" и без правила отчётливо слышится смягченная согласная "в", и смягчает этот звук мягкий знак. Звуков он не обозначает, конечно же, но пишется, так как служит для смягчения согласного звука.
Употребляя глагол в форме числа множественного, мы должны добавить к форме числа единственного окончание -те.
И перед этим окончанием сохраняется мягкий знак, он никуда не убегает, остается на своем месте.
Следовательно, правильно писать -- поздравьте.