Надеюсь, вы мне ЧТО СДЕЛАЕТЕ? -- напишете и вышлете. Так правильно написать в Вашем предложении.
Достаточно поставить правильно вопрос к глаголам. А затем по вопросу определить наклонение.
В заданном предложении выражена надежда, которая требует постановки вопроса в изъявительном наклонении -- ЧТО СДЕЛАЕТЕ? (в форме будущего времени).
Глаголы же написать и выслать относятся к первому спряжению, поэтому имеют для лица второго
числа множественного окончание -ете.
Если бы автор просто просил: "НапишИте и вышлИте, пожалуйста, мне ответ..", то он уже обращался бы с просьбой к какому-то лицу, побуждая его совершить действие. А побуждение к действию обычно выражается формой наклонения повелительного.
И такая форма образуется от основы настоящего или будущего простого времени путем добавления окончания -и в числе единственном и окончания -те в числе множественном, то есть следовало бы задать вопрос ЧТО СДЕЛАЙТЕ?
(вопрос наклонения повелительного) и ответить на него соответственно: "напис/ать - напиш/у - напиш/и - напиш/ИТЕ"
и "прислать - пришл/ю - прищл/и - пришл/ИТЕ".